Объёмы многогранников
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
тогда 
или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.
Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:
отрезок 
(поскольку это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции 
Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:
В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
и
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS: 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Но 
по теореме о трех перпендикулярах — проекция AS на плоскость основания пирамиды — прямая 
Значит, и 
то есть 
Тогда 
Кроме того, 
откуда 
Тогда высота боковой грани пирамиды 
и площадь поверхности пирамиды 
следовательно, AD = BC.
В треугольнике AMB имеем 
откуда 
и 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
а объём призмы равен 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
Пройти тестирование по этим заданиям